終結式で QE - ATPとCASのこと

　前回の QE では，直線と放物線との共有点の y 軸への正射影を求めるため，実際に連立方程式を解きましたが，例えば

$x^2+x y+y^2=1,\,x^2+x+2 y^2-y=1$

のように次数が上がると，その実行は難しくなります．また

$xy+yz+zx=1,\,x^2+y^2+z^2=1$

のように変数の種類が増すと，n 次元空間の曲面どうしの共通部分は曲線または点（多項式で表された，いわゆる代数曲面どうしが，ある開集合上で一致するなら全空間で一致するので，共通部分の正射影が内点をもつような式は予め整理できます）であり，その正射影も曲線（(n-1)次元空間の曲面）なので，一般には共通部分の正射影を表す式が目標となりそうですが，我々は解集合の境界を「含む集合」として正射影を用いるのですから，正射影そのものでなくても，例えば

共通部分の正射影を「含む集合」を表す式

でもよいわけです．勿論空間全体などというようなものでは困りますが，手頃なものとして，終結式の零点集合があるというのが今回のお話です．
　まず定義です．m 次多項式 f，n 次多項式 g の終結式とは，下記のような

f の係数を 1 列ずつずらしながら n 行，g の係数を 1 列ずつずらしながら m 行並べ，他の成分を 0 で埋めた (n+m) 次行列（シルベスター行列）の行列式

のことであり，任意の 1 根についての多項式としての次数と因数定理により，終結式は

f=0 の根 a，g=0 の根 b の全ての組み合わせについての a-b の積の 0 でない定数倍

であることが判りますので，共通根の存在条件は，終結式が 0 となることです．
　従って，y∈R^n，x∈R，f,g を n+1 変数の多項式とするとき

　y∈(f=0,g=0 の共通部分のy空間への正射影)
⇔∃x( f(x,y)=0 ∧ g(x,y)=0 )
⇒(xについての多項式としてのf,gの終結式)=0　(1)

となるので，例えば

$x-y=0,x^2-2x+y=0$ の共通部分の $y$ 軸への正射影

は

$\|\array{1&-y&0\\0&1&-y\\1&-2&y}\|=y-y^2=0$

の表す部分に含まれ，同じく

$x^2+x y+y^2=1,x^2+x+2 y^2-y=1$ の共通部分の $y$ 軸への正射影

は

$\|\array{1&y&y^2-1&0\\0&1&y&y^2-1\\1&1&2 y^2-y-1&0\\0&1&1&2 y^2-y-1}\|=3 y^4-6 y^3+2 y^2+2 y-1=0$

の表す部分に含まれます．
　ただし，終結式が 0 であっても実数の共通根があるとは限らない（例えば， $2 x^2 - y, x^2 - y - 1$ の終結式は $(y+2)^2$ ですが， $y=-2$ としても $2 x^2 + 2=0, x^2 +1=0$ の共通根は虚数のみです）ので，実数の範囲では，(1)は⇔とはならず

(共通部分の正射影)⊆(終結式の零点集合)

としか言えないのです．
　一方，この必要条件と言う位置付けは

形式上の次数による処理が可能

という利点があります．例えば， $ax^2+bx+c=0,\,px+q=0$ に共通根 $r$ があるならば，それらの本当の次数によらず，つまり， $a,\,p$ やそれらに続く係数が $0$ であろうとなかろうと
$\array{a&b&c\\p&q&0\\0&p&q}\)$\array{r^2\\r\\1}$=$\array{0\\0\\0}$,\;$\array{r^2\\r\\1}$\ne\(\array{0\\0\\0}$
が成り立つので，やはり終結式は $0$ となります．従って