本日のC.A.D.

区間 $x\ge0$ を定義域とする関数 $\sqrt{x}$ は，Lipschitz 連続ではありません．

In[1]:= Reduce[ForAll[{x,y},And[0<=x,0<=y],Abs[Sqrt[x]-Sqrt[y]]<=L*Abs[x-y]],Reals]                              

Out[1]= False

しかし，一様連続です．

In[2]:= Reduce[ForAll[e,0<e,Exists[d,0<d,ForAll[{x,y},And[0<=x,0<=y,Abs[x-y]<d],Abs[Sqrt[x]-Sqrt[y]]<e]]],Reals] 

Out[2]= True

そのこころは．．．

In[3]:= Reduce[0<e && 0<d && ForAll[{x,y},And[0<=x,0<=y,Abs[x-y]<d],Abs[Sqrt[x]-Sqrt[y]]<e],Reals]               

Out[3]= e > 0 && Inequality[0, Less, d, LessEqual, e^2]

さらに，Hölder 連続です．

In[4]:= Reduce[ForAll[{x,y},And[0<=x,0<=y],Abs[Sqrt[x]-Sqrt[y]]<=L*Sqrt[Abs[x-y]]],Reals]                        

Out[4]= L >= 1