包絡線で QE - ATPとCASのこと

　前回の図を見ると，この解集合の境界は，どうやら2本の線分と謎の曲線とで構成されているようです．
　線分については

$f(a_1,a_2,x):=a_1 e^x \,+\,a_2 x^3 \cos \pi x\,+\,\frac{1}{\log\left(x^2+2\right)}$

に対する $f(a_1,a_2,-1)=0,f(a_1,a_2,1)=0$ の一部と推定できますが，いい感じに曲がった部分を見て，何とかそれを表す「式」を得られないかと思うのは自然な反応でしょう．
　以前の記事で，小数表示された数の「正体」を Wolfram|Alpha に尋ねたように，境界に属する（と思われる）点を通る曲線の式を，いわゆる curve fitting で見付けるという道があり，Mathematica にもその種の関数群（http://reference.wolfram.com/mathematica/tutorial/CurveFitting.ja.html）が実装されています．しかし，それでは何と言うか「オートマチック度」が下がってしまい面白くありません．
　幸い今回の目的に対しては，包絡線という解決策あり，その曲線の媒介変数表示を得ることが可能です．すなわち， $f(a_1,a_2,x)=0\,(x\in I)$ は高々有限個の $x$ を除いて直線を表しますので， $I$ の適当な区間内 $J$ において常にその直線に接する曲線が $z$ の可微分関数を成分とする接点により， $(a_1,a_2)=(a_1(x),a_2(x))$ と媒介変数表示されるなら，関数 $a_1(x),a_2(x)$ は $J$ 上で常に

$(1)f(a_1(x),a_2(x),x)=0$

従って

$(2)f_{a_1}(a_1(x),a_2(x),x)a_1'(x)+f_{a_2}(a_1(x),a_2(x),x)a_2'(x)+f_{x}(a_1(x),a_2(x),x)=0$

を満たしますが， $(2)$ の最初の 2 項は，接線の法線ベクトルと方向ベクトルとの内積なので $0$ ですから， $(2)$ は

$(3)f_{x}(a_1(x),a_2(x),x)=0$

となります．そこで，実際に

Solve[{f[a[1],a[2],x] == D[f[a[1],a[2],x], x] == 0}, {a[1], a[2]}]

と入力すると，Mathematica は

$a(1) \to - \frac{{{e^{ - x}}\left( { - 2{x^2}\cos (\pi x) + 2\pi x\log \left( {{x^2} + 2} \right)\sin (\pi x) - 3{x^2}\log \left( {{x^2} + 2} \right)\cos (\pi x) - 6\log \left( {{x^2} + 2} \right)\cos (\pi x) + \pi {x^3}\log \left( {{x^2} + 2} \right)\sin (\pi x)} \right)}}{{x\left( {{x^2} + 2} \right){{\log }^2}\left( {{x^2} + 2} \right)(\pi x\sin (\pi x) + x\cos (\pi x) - 2\cos (\pi x))}},$
$a(2) \to - \frac{{\sec (\pi x)\left( {2{x^2}\cos (\pi x) + {x^2}\log \left( {{x^2} + 2} \right)\cos (\pi x) + 2x\log \left( {{x^2} + 2} \right)\cos (\pi x) + 2\log \left( {{x^2} + 2} \right)\cos (\pi x) + {x^3}\log \left( {{x^2} + 2} \right)\cos (\pi x)} \right)}}{{{x^3}\left( {{x^2} + 2} \right){{\log }^2}\left( {{x^2} + 2} \right)(\pi x\sin (\pi x) + x\cos (\pi x) - 2\cos (\pi x))}}$

と（分母が non-zero かを気にせず）答えるので，適当な範囲で ParametricPlot すると，確かに

となっています．