本日のC.A.D.

a, b, c がある 3 角形の 3 辺の長さ，F がその 3 角形の面積，a*ha=b*hb=c*hc=2*F，そして，t が実数のとき，Mt が t-power mean（ https://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_mean ）ならば

$\begin{eqnarray}
& &2F\min\{ (abc)^{-2/3}, (\min\{a,b,c\} \max\{a,b,c\})^{-1} \} Mt(a,b,c)\\
&\le&Mt(h_a,h_b,h_c)\\
&\le&2F\max\{ (abc)^{-2/3}, (\min\{a,b,c\} \max\{a,b,c\})^{-1} \} Mt(a,b,c)\end{eqnarray}$

1.21 Bottema, et. al. "GEOMETRIC INEQUALITIES"

今回は指数に変数が含まれるので（比の値の範囲ではなく）大小関係の特定に十分な不等式を導入し，（過剰ですが）その辺々の比の値の範囲を求めます．具体的には，F を消去した

$\begin{eqnarray}
& &\min\{ (abc)^{-2/3}, (\min\{a,b,c\} \max\{a,b,c\})^{-1} \} M_t(a,b,c)\\
&\le&Mt(1/a,1/b,1/c)\\
&\le&\max\{ (abc)^{-2/3}, (\min\{a,b,c\} \max\{a,b,c\})^{-1} \} Mt(a,b,c)\end{eqnarray}$

は，t=0 の場合，power mean は相乗平均だから明らか，t≠0 の場合，辺々 t 乗しても同じ形（t＜0 の場合は不等号が逆向き，かつ，max，min が入れ替わる）なので，a^{t/3}，b^{t/3}，c^{t/3} をそれぞれ x，y，z とすれば

$\begin{eqnarray}& &\min\{ (xyz)^{-2}, (\min\{x,y,z\} \max\{x,y,z\})^{-3} \} (x^3+y^3+z^3)\\ &\le& (1/x^3)+(1/y^3)+(1/z^3)\\ &\le&\max\{ (xyz)^{-2}, (\min\{x,y,z\} \max\{x,y,z\})^{-3} \} (x^3+y^3+z^3) \end{eqnarray}$

また，a^t，b^t，c^t をそれぞれ x，y，z とすれば

$\begin{eqnarray}& &\min\{ (xyz)^{-2/3}, (\min\{x,y,z\} \max\{x,y,z\})^{-1} \} (x+y+z)\\ &\le& (1/x)+(1/y)+(1/z)\\ &\le&\max\{ (xyz)^{-2/3}, (\min\{x,y,z\} \max\{x,y,z\})^{-1} \} (x+y+z) \end{eqnarray}$

のように一般化できます．あとは対称性により WLOG で 0＜x≦y≦z のもと，(x*y*z)^{-2}，(x*z)^{-3} の大小，また，(x*y*z)^{-2/3}，(x*z)^{-1} の大小，つまり，x*z，y^2 の大小に応じて

/* Left:Center */

? tst12([ex,ex,ex],[d,x,y,z],andx,"0<x,x<=y,y<=z,z*x<=y^2,0<d,(x^3+y^3+z^3)*x*y*z==d*(x^3*y^3+y^3*z^3+z^3*x^3)");Ans();
 *** using Lazard's method (MPP17).
[z,3]
[y,5]
[x,1]
[d,4]
time = 139 ms.
3 3(0,0) 12(9,3) 2(7,7) 
 *** combined adjacent 1 cells.
1[[d,1] < d <= [d-1,1],true,true,true]
time = 31 ms.

/* Right:Center */

? tst12([ex,ex,ex],[d,x,y,z],andx,"0<x,x<=y,y<=z,z*x<=y^2,0<d,(x+y+z)*y==d*(x*y+y*z+z*x)");Ans();
 *** using Lazard's method (MPP17).
[z,3]
[y,6]
[x,1]
[d,4]
time = 76 ms.
7 7(0,0) 20(0,10) 2(0,17) 
 *** combined adjacent 1 cells.
1[[d-1,1] <= d < [d-2,1],true,true,true]
time = 16 ms.

/* Left:Center */

? tst12([ex,ex,ex],[d,x,y,z],andx,"0<x,x<=y,y<=z,z*x>y^2,0<d,(x+y+z)*y==d*(x*y+y*z+z*x)");Ans();
 *** using Lazard's method (MPP17).
[z,3]
[y,6]
[x,1]
[d,4]
time = 83 ms.
7 7(0,0) 20(0,10) 1(0,19) 
 *** combined adjacent 0 cells.
1[[2*d-1,1] < d < [d-1,1],true,true,true]
time = 17 ms.

/* Right:Center */

? tst12([ex,ex,ex],[d,x,y,z],andx,"0<x,x<=y,y<=z,z*x>y^2,0<d,(x^3+y^3+z^3)*x*y*z==d*(x^3*y^3+y^3*z^3+z^3*x^3)");Ans();
 *** using Lazard's method (MPP17).
[z,3]
[y,5]
[x,1]
[d,4]
time = 137 ms.
3 3(0,0) 12(9,3) 1(5,11) 
 *** combined adjacent 0 cells.
1[[d-1,1] < d,true,true,true]
time6 = 38 ms.

といった結果を得ます．