Maple の動向（その１） - ATPとCASのこと

　まず，RootFinding は，Isolate 関数のような方程式の数値解計算を主としたパッケージですが，Maple 12 で追加されたサブパッケージ Parametric は，不等式制約を許す連立方程式の open CAD（パラメータ＝自由変数空間の開集合による分解 http://www.sigsam.org/bulletin/articles/169/liang.pdf）データを出力する CellDecomposition 関数（RootFinding[Parametric] - Maple Programming Help）をメインとしたものです．
　先の例の自由変数空間の分解を得るには

with(RootFinding[Parametric]):
ocad:=CellDecomposition([a

と入力すれば

Record(
　Equations = [x^2 - 2 x + a],
　Inequalities = [x - a, a + 2 - x], Filter = (0 <> 1),
　Variables = [x], Parameters = [a],
　DiscriminantVariety = [ [a], [a - 1], [a + 3] ],
　ProjectionPolynomials = [ [a, a - 1, a + 3] ],
　SamplePoints = [ [a = -4], [a = -2], [a = 1/2], [a = 2] ] )

のように出力され，例えば，各 cell を表す式は

seq([k,CellDescription(ocad,k) ],k=1..4);
[1, [ [-infinity, 0, a, a + 3, 1] ] ],
[2, [ [a + 3, 1, a, a, 1] ] ],
[3, [ [a, 1, a, a - 1, 1] ] ],
[4, [ [a - 1, 1, a, infinity, 0] ] ]

さらに，各 cell 内のパラメータに対する連立方程式の実数解（束縛変数を満たす実数の組）の個数も

NumberOfSolutions(ocad);
[ [1, 0], [2, 1], [3, 1], [4, 0] ]

のように出力されます．そして，自由変数が 2 個なら，CellPlot 関数で変数空間の分割を視覚化することもできます．
　ただし，開集合への分割なので，境界の条件は無視され，例えば

CellDecomposition([x^2+2*a*x+b=0],[x]):
seq([k,CellDescription(%,k)],k=1..4);
[1, [[-infinity, 0, b, b, 1], [-infinity, 0, a, infinity, 0] ] ],
[2, [[b, 1, b, infinity, 0], [-infinity, 0, a, a^2-b, 1] ] ],
[3, [[b, 1, b, infinity, 0], [a^2-b, 1, a, a^2-b, 2] ] ],
[4, [[b, 1, b, infinity, 0], [a^2-b, 2, a, infinity, 0] ] ]
NumberOfSolutions(%%);
[ [1, 2], [2, 2], [3, 0], [4, 2] ]

のように，解の個数が 1 となる条件は出力されません．
　また，あくまで連立方程式の実数解の個数を調べるものであり
・（方程式の個数）≧（束縛変数の個数）
＞の場合，指定しなかった束縛変数は自由変数として処理される
・自由変数の殆ど全ての値に対して，束縛変数のとり得る値は有限個
従って，解に連続的な自由度があるような連立方程式は扱えない
・自由変数の殆ど全ての値に対して，束縛変数のとり得る値の代数的重複度は 2 以上でない
といった制約があります．

• The input system must satisfy the following properties:
– The number of equations is equal to or greater than the number of indeterminates
– At most finitely many complex solutions exist for almost all complex parameter values (that is, the system is generically zero-dimensional)
– For almost all complex parameter values, there are no solutions of multiplicity greater than 1 (that is, the system is generically radical); in particular, the input equations are square-free
An error occurs if one of these conditions is violated.

　ちなみに，http://www.cybernet.co.jp/maple/documents/pdf/product/maple/maple12/M12_ReleaseNote.pdf の紹介文は．．．