自動解答系の作り方（17）

　センターに限らず「関数のグラフで囲まれた図形」の面積は入試における頻出事項ですが，「その図形」の定義は数学にはなく，出題者と解答者との曖昧さのシンパシーによって維持されたもので，複数の解釈ができる問題も散見されます．

　ということで，今回のシステムで採用する定義について述べておきます．以下，関数はRからRへの連続関数とし，グラフはx,yを流通座標とするR^2の部分集合とします．

　まず，関数の個数が２の場合，これは簡明で，それらをf1,f2とし，f1(x)=f2(x)を満たす相異なる実数の個数が

・１以下のときは，「その図形」は空集合
・２以上のときは，そのうち値の最小，最大のものをa，bとおき，「その図形」に(x,y)が属するというのは

　a<x<b　∧　(y-f1(x))(y-f2(x))<0

のこととします．

　Mathematicaのコードでは

rangex[{C1_, C2_}] := 
 Reduce[Exists[List[sol1, sol2], 
   sol1 < x < sol2,
     (C1[[-1]] == C2[[-1]] /. x :> sol1) && (C1[[-1]] == C2[[-1]] /. x :> sol2)], Reals]; 
area[{c1_, c2_}] := 
 Integrate[
  Boole[rangex[{c1, c2}] && (y - c1[[-1]]) (y - c2[[-1]]) < 0],
   {x, -Infinity, Infinity}, {y, -Infinity, Infinity}];

といった具合で

In[2]:= area /@ {
 {y == x^2 + 1, y == 0},
 {y == x^2, y == x - x^2},
 {y == x^3, y == x},
 {y == x (x^2 - 1) (x^2 - 2)^2, y == 0},
 {y == Abs[-3 + (3 x^2)/4] - 2,  y == x},
 {y == Sqrt[1 - x^2], y == 1 - x}, 
 y == Y /. Solve[x^2 + x Y + Y^2 == 1, Y]}

Out[2]= {0, 1/24, 1/2, 3/2, 208/27, 1/4 (-2 + \[Pi]), (2 \[Pi])/Sqrt[3]}

となります．