京都大学理学部特色入試［４］

ちょっとした経緯があり，解いてみました．

　$O$ を原点とする $xyz$ 空間内の任意の点 $X=(x,\ y,\ z)$ に対して，$X'=(0,\ y,\ z)$ とし，$X$ と $x$ 軸との距離を ${d}({X})$ で表すと，${d}({X})=\sqrt{y^2+z^2}=\left|\overrightarrow{OX'}\right|$ だから，$4$ 点 $V_i\ (i=1,2,3,4)$ と和が $1$ である非負の $4$ 数 $t_i\ (i=1,2,3,4)$ に対して，$T_1=\sum_{i=1}^{4}{ t_i V_i }$ とおくと

$${d}({T_1})=\left|\sum_{i=1}^{4}{ t_i \overrightarrow{O{V_i}'} }\right| \le \sum_{i=1}^{4}{ t_i \left|{\overrightarrow{O{V_i}'}}\right| }
=\sum_{i=1}^{4}{ t_i {d}({V_i}) }\le\max\{{d}({V_i}):i=1,2,3,4\}$$

さらに，$x$ 軸上の $2$ 点 $T_2,\ T_3$ に対して，$3$ 角形 $XT_2T_3$ の面積を ${m}({X})$ で表すと，${m}({X})=\left|{\overrightarrow{T_2T_3}}\right|\times{d}({X})/2$ だから

$${m}({T_1})\le\max\{{m}({V_i}):i=1,2,3,4\}$$

したがって，設問の $\mathrm{P,\ Q,\ R}$ を逐次 $T_1$ とし，この不等式の右辺を与える $4$ 面体 $\mathrm{ABCD}$ の頂点に移せば，面積が減少しない $3$ 角形の列が得られ，$4$ 面体 $\mathrm{ABCD}$ の面に至る．