近接根の識別

さて，r, R を先の条件を満たすようにとるとして，そも，R をどのように定めるのか？という問題があります．

確かに，数値解の誤差 R の系において，互いの距離が 2*R 以下である数値解を全て集めれば，重根に対する数値解は必ずそれに属します．しかし，互いの距離が 4*R 以下である厳密相異根（近接根）が存在すると，それらに対する数値解もメンバーになるかも知れません．

ここでもし，系における厳密相異根間の距離の最小値（根差）sep の値が判るならば，sep > 4*R を満たすように R をとっておけば，相異根 r1, r2 に対する数値解 s1, s2 間の距離は

 | s2 - s1 | = | (r2 - r1) - (s1 - r1) + (s2 - r2) | >= sep - R - R > 2*R 

のように 2*R より大きくなるので，上記のように集めた数値解全体が，重根に対する数値解全体になります．

では如何にして sep の値を得るかですが，それには resultant を繰り返し用いて１変数化する方法があります．maxima では

(%i7) factor(eliminate([2*c+1,4096*c^3+27*b^4,8*a*c-9*b^2-2*a^3,x^4+a*x^2+b*x+c],[c,b,a]));
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(%o7) [33554432*x^8*(2*x^4-27)*(6*x^4-1)^3
               *(186624*x^32+2985984*x^28+40621824*x^24+12082176*x^20
                            +41597280*x^16+64694016*x^12+262151536*x^8
                            -644544*x^4+729)]

のように必要条件を定める多項式が得られ，この実根

 -1.91683..., -0.63894..., 0, 0.63894..., 1.91683...

から，sep >= 0.63894...（実際には c は 0 でないので，1.91683...-0.63894...）と判るので，

 R < 0.63894.../4 = 0.15973...

のようにとっておけば，上記の系の近接根に対する数値解間の距離はカウントされず，原理的には，これをすべての多項式の組合せに対して実行し，最小の sep に対して， R を定めればよいことになります．

．．．が，一般に，resultant の係数は爆発し，モニター画面が埋まります．