自動解答系の作り方（５）

　・ベクトルの問題

　・三角比の問題

に対応しました．入力と出力の例を挙げます．

2013数学ⅡＢ第４問

　$OA=5$，$OC=4$，$\angle{AOC}=\theta$である平行四辺形$OABC$において，線分$OA$を$3:2$に内分する点を$D$とする．
また，点$A$を通り直線$BD$に垂直な直線と直線$OC$の交点を$E$とする．ただし，$0<\theta<\pi$とする．
　以下，$\vec{OA}=\vec{a}$，$\vec{OC}=\vec{c}$とおき，実数$t$を用いて$\vec{OE}=t \vec{c}$と表す．
（１）$t$を$\cos{\theta}$を用いて表そう．
$$\vec{AE}=t \vec{c}-\vec{a},\ \vec{DB}=\frac{ans[1]}{ans[2]} \vec{a}+\vec{c},\ \vec{a}\cdot\vec{c}={ans[3] ans[4]} \cos{\theta}$$
となるので，$\vec{AE}\cdot\vec{DB}=ans[5]$により
$$t=\frac{ans[6] (ans[7] \cos{\theta}+1)}{ans[8] (\cos{\theta}+ans[9])}\ \cdots\ \textcircled{1}$$
となる．
（３）$\cos{\theta}=-\frac{1}{8}$とする．直線$AE$と直線$BD$の交点を$F$とし，三角形$BEF$の面積を求めよう．
$\textcircled{1}$により，$t=\frac{ans[10]}{ans[11]}$となり，
$\vec{OF}=\frac{ans[12]}{ans[13]} \vec{a}+\frac{ans[14]}{ans[15]} \vec{c}$
となる．
したがって，点$F$は線分$AE$を$1:ans[16]$に内分する．このことと，平行四辺形$OABC$の面積は
$\frac{{{ans[17] ans[18]} \sqrt{ans[19]}}}{ans[20]}$であることから，三角形$BEF$の面積は
$\frac{ans[21] \sqrt{ans[22]}}{ans[23]}$である．

を入力すると

{ans[1] -> 2, ans[2] -> 5, ans[3] -> 2, ans[4] -> 0, ans[5] -> 0, ans[6] -> 5, ans[7] -> 2, ans[8] -> 4, ans[9] -> 2, ans[10] -> 1, ans[11] -> 2, ans[12] -> 2, ans[13] -> 3, ans[14] -> 1, ans[15] -> 6, ans[16] -> 2, ans[17] -> 1, ans[18] -> 5, ans[19] -> 7, ans[20] -> 2, ans[21] -> 5, ans[22] -> 7, ans[23] -> 2}

と出力されます．verboseモード動画．

2011数学ⅠＡＢ第3問

　点$O$を中心とする円$O$の円周上に$4$点$A,\ B,\ C,\ D$がこの順にある．四角形$ABCD$の辺の長さは，それぞれ
$$AB=\sqrt{7},\ BC=2\sqrt{7},\ CD=\sqrt{3},\ DA=2\sqrt{3}$$
であるとする．
（１）$\angle{ABC}=\theta$，$AC=x$とおくと，$\triangle{ABC}$に着目して
$$x^2={ans[1] ans[2]}-28 \cos{\theta}$$
となる．また，$\triangle{ACD}$に着目して
$$x^2=15+{ans[3] ans[4]} \cos{\theta}$$
となる．よって，$\cos{\theta}=\dfrac{ans[5]}{ans[6]}$，$x=\sqrt{{ans[7] ans[8]}}$であり，円$O$の半径は$\sqrt{ans[9]}$である，
　また，四角形$ABCD$の面積は$ans[10] \sqrt{ans[11]}$である．

を入力すると

{ans[1] -> 3, ans[2] -> 5, ans[3] -> 1, ans[4] -> 2, ans[5] -> 1, ans[6] -> 2, ans[7] -> 2, ans[8] -> 1, ans[9] -> 7, ans[10] -> 5, ans[11] -> 3}

と出力されます．