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自動解答系の作り方(5)

 センター試験

 ・ベクトルの問題

 ・三角比の問題

に対応しました.入力と出力の例を挙げます.

2013数学ⅡB第4問

 $OA=5$,$OC=4$,$\angle{AOC}=\theta$である平行四辺形$OABC$において,線分$OA$を$3:2$に内分する点を$D$とする.
また,点$A$を通り直線$BD$に垂直な直線と直線$OC$の交点を$E$とする.ただし,$0<\theta<\pi$とする.
 以下,$\vec{OA}=\vec{a}$,$\vec{OC}=\vec{c}$とおき,実数$t$を用いて$\vec{OE}=t \vec{c}$と表す.
(1)$t$を$\cos{\theta}$を用いて表そう.
$$\vec{AE}=t \vec{c}-\vec{a},\ \vec{DB}=\frac{ans[1]}{ans[2]} \vec{a}+\vec{c},\ \vec{a}\cdot\vec{c}={ans[3] ans[4]} \cos{\theta}$$
となるので,$\vec{AE}\cdot\vec{DB}=ans[5]$により
$$t=\frac{ans[6] (ans[7] \cos{\theta}+1)}{ans[8] (\cos{\theta}+ans[9])}\ \cdots\ \textcircled{1}$$
となる.
(3)$\cos{\theta}=-\frac{1}{8}$とする.直線$AE$と直線$BD$の交点を$F$とし,三角形$BEF$の面積を求めよう.
$\textcircled{1}$により,$t=\frac{ans[10]}{ans[11]}$となり,
$\vec{OF}=\frac{ans[12]}{ans[13]} \vec{a}+\frac{ans[14]}{ans[15]} \vec{c}$
となる.
したがって,点$F$は線分$AE$を$1:ans[16]$に内分する.このことと,平行四辺形$OABC$の面積は
$\frac{{{ans[17] ans[18]} \sqrt{ans[19]}}}{ans[20]}$であることから,三角形$BEF$の面積は
$\frac{ans[21] \sqrt{ans[22]}}{ans[23]}$である.

を入力すると

{ans[1] -> 2, ans[2] -> 5, ans[3] -> 2, ans[4] -> 0, ans[5] -> 0, ans[6] -> 5, ans[7] -> 2, ans[8] -> 4, ans[9] -> 2, ans[10] -> 1, ans[11] -> 2, ans[12] -> 2, ans[13] -> 3, ans[14] -> 1, ans[15] -> 6, ans[16] -> 2, ans[17] -> 1, ans[18] -> 5, ans[19] -> 7, ans[20] -> 2, ans[21] -> 5, ans[22] -> 7, ans[23] -> 2}

と出力されます.verboseモード動画.

2011数学ⅠAB第3問

 点$O$を中心とする円$O$の円周上に$4$点$A,\ B,\ C,\ D$がこの順にある.四角形$ABCD$の辺の長さは,それぞれ
$$AB=\sqrt{7},\ BC=2\sqrt{7},\ CD=\sqrt{3},\ DA=2\sqrt{3}$$
であるとする.
(1)$\angle{ABC}=\theta$,$AC=x$とおくと,$\triangle{ABC}$に着目して
$$x^2={ans[1] ans[2]}-28 \cos{\theta}$$
となる.また,$\triangle{ACD}$に着目して
$$x^2=15+{ans[3] ans[4]} \cos{\theta}$$
となる.よって,$\cos{\theta}=\dfrac{ans[5]}{ans[6]}$,$x=\sqrt{{ans[7] ans[8]}}$であり,円$O$の半径は$\sqrt{ans[9]}$である,
 また,四角形$ABCD$の面積は$ans[10] \sqrt{ans[11]}$である.

を入力すると

{ans[1] -> 3, ans[2] -> 5, ans[3] -> 1, ans[4] -> 2, ans[5] -> 1, ans[6] -> 2, ans[7] -> 2, ans[8] -> 1, ans[9] -> 7, ans[10] -> 5, ans[11] -> 3}

と出力されます.