自動解答系の作り方（４）

　・２次関数の問題

　・（帰納的に構成された）数列の問題

に対応しました．入力と出力の例を挙げます．

2012数学ⅠＡ第２問

　$a,\ b$を定数として2次関数
$$y=-x^2+(2a+4)x+b\ \cdots\ \textcircled{1}$$
について考える．
関数$\textcircled{1}$のグラフの頂点の座標は，
$$(a+ans[1], \ a^2+ans[2] a+b+ans[3])$$
である．以下，この頂点が直線$y=-4x-1$上にあるとする．このとき，
$$b=-a^2-ans[4] a-{ans[5] ans[6]}$$
である．
（１）グラフ$G$が$x$軸と異なる$2$点で交わるような$a$の値の範囲は
$$a<\dfrac{{ans[7] ans[8]}}{ans[9]}$$
である．また，$G$が$x$軸の正の部分と負の部分の両方で交わるような$a$の値の範囲は
$$-ans[10]-\sqrt{ans[11]}<a<-ans[10]+\sqrt{ans[11]}$$
である．
（２）関数$\textcircled{1}$の$0\le x\le4$における最小値が$-22$となるのは
$$a={ans[12] ans[13]} または a=ans[14]$$
のときである．また$a=ans[14]$のとき，関数$\textcircled{1}$の$0\le x\le4$における最大値は${ans[15] ans[16] ans[17]}$である．
　一方，$a={ans[12] ans[13]}$のときの$\textcircled{1}$のグラフを$x$軸方向に$ans[18]$，$y$軸方向に${ans[19] ans[20] ans[21]}$だけ平行移動すると，$a=ans[14]$のときのグラフと一致する．

を入力すると

{ans[1] -> 2, ans[2] -> 4, ans[3] -> 4, ans[4] -> 8, ans[5] -> 1, ans[6] -> 3, ans[7] -> -1, ans[8] -> 9, ans[9] -> 4, ans[10] -> 4, ans[11] -> 3, ans[12] -> -1, ans[13] -> 3, ans[14] -> 1, ans[15] -> -1, ans[16] -> 1, ans[17] -> 3, ans[18] -> 4, ans[19] -> -1, ans[20] -> 1, ans[21] -> 6}

と出力されます．verboseモード動画．

2013数学ⅡＢ第3問

　（１）数列$\{p_{n}\}$は次を満たすとする．
$$p_{1}=3,\ p_{n+1}=\frac{1}{3} p_{n}+1\ (n=1,2,3,\cdots)\ \cdots\ \textcircled{1}$$
数列$\{p_{n}\}$の一般項と初項から第$n$項までの和を求めよう．まず，$\textcircled{1}$から
$$p_{n+1}-\frac{ans[1]}{ans[2]}=\frac{1}{3} (p_{n}-\frac{ans[1]}{ans[2]})\ (n=1,2,3,\cdots)$$
となるので，数列$\{p_{n}\}$の一般項は
$$p_{n}=\frac{1}{ans[3] \times ans[4] ^ {n-2}} + \frac{ans[5]}{ans[6]}$$
である．したがって，自然数$n$に対して
$$\sum_{k=1}^{n} p_{k} =\frac{ans[7]}{ans[8]} (1-\frac{1}{ans[9] ^n})+\frac{ans[10] n}{ans[11]}$$
である．
（２）正の数からなる数列$a_{n}$は, 初項から第3項が$a_{1} = 3,\ a_{2} = 3,\ a_{3} = 3$であり，すべての自然数 $n$ に対して
$$a_{n+3}=\frac{a_{n}+a_{n+1}}{a_{n+2}}\ \cdots\ \textcircled{2}$$
を満たすとする．また，数列$b_{n},\ c_{n}$を，自然数$n$に対して，$b_{n} = a_{2 n-1},\ c_{n} = a_{2 n}$で定める．数列$b_{n},\ c_{n}$の一般項を求めよう．まず，$\textcircled{2}$から
$$a_{4} =\frac{a_{1}+a_{2}}{a_{3}}=ans[12],\ a_{5} = 3,\ a_{6} =\frac{ans[13]}{ans[14]},\ a_{7} = 3$$
である．（中略）$c_{1} = ans[15]$である．

を入力すると

{ans[1] -> 3, ans[2] -> 2, ans[3] -> 2, ans[4] -> 3, ans[5] -> 3, ans[6] -> 2, ans[7] -> 9, ans[8] -> 4, ans[9] -> 3, ans[10] -> 3, ans[11] -> 2, ans[12] -> 2, ans[13] -> 5, ans[14] -> 3, ans[15] -> 3}

と出力されます．