自動解答系の作り方（１）

　突然（でもない？）ですが，日本語混じりの LaTeX の問題文を入力とする自動解答システムを試作しました．扱い易い問題ならそれなりに処理できるようになりましたので，これについて書いていこうと思います．

　自動解答といっても QE を含めた数式処理は Mathematica に丸投げしており，行うのは

問題文からの Mathematica コマンドの生成

です．具体的には，キーワードから問題のタイプ（分野）を識別し，形やキーワードとの関係から問題文中の項，論理式を整形の上，適当なコマンドへ埋め込むといった処理で，極言すれば形式的な変換に過ぎません．今の所，２次試験では

　・値域（最大値，最小値，それらに対応する定義域内の要素）を求める問題

　・不等式系で表された座標平面・空間内の図形の面積・体積を求める問題

センター試験では

　・式の値を求める問題

　・方程式・不等式の解集合を求める問題

に対応しています．入力と出力の例を挙げます．

東京大学2011文科第１問

　$x$の3次関数$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$が，3つの条件
\[ f(1)=1,\ f(-1)=-1,\ \int_{-1}^{1}(bx^2+cx+d)d{x}=1 \]
を全て満たしているとする．このような$f(x)$の中で定積分
\[ I=\int_{-1}^{\frac{1}{2}} \{f''(x)\}^2 d{x} \]
を最小にするものを求め，そのときの$I$の値を求めよ．
ただし，$f''(x)$は$f'(x)$の導関数を表す．

を入力すると

min == 81/32
d == 3/4 && c == 5/4 && b == -3/4 && a == -1/4

と出力されます．独立変数（束縛変数）がa,b,c,dであることの明示がない問題です．また一応，ax とあれば aとxとの積として扱うようにしましたが，インテグラルと対の積分変数には { } が必須です．

センター試験2011数学１第１問〔２〕

　$n$を自然数とし
$$A=n^4-2n^3+3n^2-2n+2$$
とおく．
$$n^4+3n^2+2=(n^2+ans[1]) (n^2+ans[2])$$
であるから
$$A=(n^2+ans[3]) (n^2-ans[4] n+ans[5])$$
となる．さらに
$$n^2-ans[4] n+ans[5]=(n-ans[6])^2+ans[7]$$
である．したがって，$A<1000$を満たす最大の$n$は$ans[8]$であり，このときの$A$の素因数分解は
$$A=ans[9] \times (ans[10] ans[11]) \times (ans[12] ans[13])$$
となる．

を入力すると

{ans[1] -> 2, ans[2] -> 1, ans[3] -> 1, ans[4] -> 2, ans[5] -> 2, ans[6] -> 1, ans[7] -> 1, ans[8] -> 6, ans[9] -> 1, ans[10] -> 7, ans[11] -> 4, ans[12] -> 1, ans[13] -> 3}

と出力されます．この問題のポイントは

　・ans[6]，ans[7] を得るには ans[4]，ans[5] が必要である点

　・$n$は$ans[8]$のように論理式ではなく項と日本語で書かれている点

　・ans[10] ans[11]，ans[12] ans[13] のような連続した空欄がある点

です．なお，素因数という条件が反映されていないので ans[9]，ans[10]，ans[11] は間違っています．