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東ロボくんのこと(15)

 第3問です.http://www.yozemi.ac.jp/nyushi/sokuho/recent/tokyo/zenki/

 これも最小値の定義を適用し,minが設問の最小値に等しいという式を Mathematica に処理させるなら

Reduce[Exists[{x,y},x^2 + y^2 <= 25&&2x + y<=5 , min== x^2 + y^2 - 2a x - 2b y]
    && ForAll[{x,y},x^2 + y^2 <= 25&&2x + y<=5 , min<= x^2 + y^2 - 2a x - 2b y],min,Reals]

となります...が,これも帰って来ません.

 人間だと幾何的な直観をもとに,例えば三角不等式などを用いて解答する(或いは絵を書いて胡麻化す)所ですが,計算機では,もう少し一般的に「x^2 + y^2 - 2a x - 2b yの唯一の極小値を与える点である(a,b)が定義域に属するか否か」で場合を分けて,属さない場合には,内点で最小とならないので,コンパクトな定義域の境界点のいずれかが最小値を与えることにより

{x, y} = 5 * {(1 - t^2)/(1 + t^2), 2 t/(1 + t^2)}; Reduce[
 Not[a^2 + b^2 <= 25 && 2 a + b <= 5] && 
  Exists[{x, y}, x^2 + y^2 <= 25 && 2 x + y <= 5, 
   min == x^2 + y^2 - 2 a x - 2 b y] && 
  ForAll[{x, y}, x^2 + y^2 <= 25 && 2 x + y <= 5, 
   min <= x^2 + y^2 - 2 a x - 2 b y], min, Reals]

{x, y} = {t, 5 - 2 t}; Reduce[
 Not[a^2 + b^2 <= 25 && 2 a + b <= 5] && 
  Exists[{x, y}, x^2 + y^2 <= 25 && 2 x + y <= 5, 
   min == x^2 + y^2 - 2 a x - 2 b y] && 
  ForAll[{x, y}, x^2 + y^2 <= 25 && 2 x + y <= 5, 
   min <= x^2 + y^2 - 2 a x - 2 b y], {a, b, min}, Reals]

となります...が,この出力は例によって cylindrical です.