東ロボくんのこと（14）一変数化，定積分の利用 by NIntegrate

　昨日の ca は書き下すと

Sqrt[a^2+(Sqrt[2]+Sqrt[1+a^2])^2]+\[Sqrt](2+1/8 (-24 Sqrt[2]-(48 Sqrt[2])/a^2+(64 Sqrt[1+a^2])/a^2+(4 Sqrt[2] Sqrt[96+64 a^2-64 Sqrt[2] Sqrt[1+a^2]])/a^2-(4 Sqrt[1+a^2] Sqrt[96+64 a^2-64 Sqrt[2] Sqrt[1+a^2]])/a^2))^2+\[Sqrt]((-a+(-8+4 Sqrt[2] Sqrt[1+a^2]+Sqrt[96+64 a^2-64 Sqrt[2] Sqrt[1+a^2]])/(2 a))^2+(-Sqrt[1+a^2]+1/8 (24 Sqrt[2]+(48 Sqrt[2])/a^2-(64 Sqrt[1+a^2])/a^2-(4 Sqrt[2] Sqrt[96+64 a^2-64 Sqrt[2] Sqrt[1+a^2]])/a^2+(4 Sqrt[1+a^2] Sqrt[96+64 a^2-64 Sqrt[2] Sqrt[1+a^2]])/a^2))^2)

といったもので，Solve の出力なので a が分母にあってもお構いなしですが，これを用いて http://d.hatena.ne.jp/ehito/20131208/1386496330 の方針（７）で Mathematica にそのまま尋ねるなら．．．

P = {0, -Sqrt[2]}; Q = {0, Sqrt[2]}; A = {a, Sqrt[a^2 + 1]};
{B, C2} = {{x, y}, {x, 2}} /. Solve[{{x, y} == (1 - s)*Q + s*A, y == Sqrt[2]/8*x^2}, {x, y, s}][[2]];
ca = Sqrt[(A - P).(A - P)] + Sqrt[(B - A).(B - A)] + Sqrt[(C2 - B).(C2 - B)];
c0 = FullSimplify[Limit[ca, a -> 0]]
NIntegrate[(ca - c0)^2, {a, 0, 1}, AccuracyGoal -> 1, WorkingPrecision -> 100]

であり，結果は直ちに 4 + Sqrt[2] と 0 となります（Integrate では帰って来ません）．