本日のC.A.D.

? tst12([all,all],[b,a,c,x,y],(f1,f2,f3,f4)->f1*f2*imp(f3,f4),"0

2021-04-16

Lazard's method（その２）

2017年に続いて，2020年に発表された Brown と McCallum の論文 "Enhancements to Lazard’s Method for Cylindrical Algebraic Decomposition" https://rdcu.be/ciEY8 の主結果は次の通りです． Lazard method の projection set に trailing coefficient を…

2021-04-14

Videos

Scott McCallum http://www.casc-conference.org/2020/videos/1/01-BrownMcCallum.mp4Chris Brown, Hoon Hong, James Davenport https://vimeo.com/showcase/5271198 http://www.sc-square.org/CSA/school/lectures.htmlAdam Strzebonski https://youtu.be/z…

2021-04-12

本日のC.A.D.

? tst12([all,all,all],[a,b,c,d,e,f,x,y,z],id,"((a*x+b)*y+c)*z+((d*x+e)*y+f)<0");Ans() *** using Lazard's method (MPP17). [z,1] [y,2] [x,3] [f,3] [e,2] [d,1] [c,1] [b,1] [a,1] time = 74 ms. 3 9(0,0) 27(0,0) 81(0,0) 291(0,60) 1257(0,396) 580…

2021-04-10

本日のC.A.D.

? tst12([],[c,a,d,b],(f1,f2,f3,f4,f5)->imp(f1*f2*f3*f4,f5),"a^2<=a,b^2<=b,c^2<=c,d^2<=d,(1-a^2*b^2)*(1-c*d)*(a*d-b*c)^2+2*a*b*(c*d-a*b)*(1-a*b)*(c-d)^2+(a^2*b^2-c^2*d^2)*(1-c*d)*(a-b)^2>=0",17);Ans(); *** using Lazard's method (BM20). 1 [b…

2021-04-07

本日のC.A.D.

? tst12([all,ex],[a,b,x,y],(f1,f2)->f1*f2,"x^6+x*y+a>0,x+b*y^6+a<0",17);Ans() *** using Lazard's method (BM20). 1,0 [y,2] -5 [x,3] -5 [b,2] [a,2] [[[a],[],[x],[]]] time = 1718 ms. 5 25(0,2) 180(55,29) 113(108,74) *** combined adjacent 88 c…

2021-04-07

本日のC.A.D.

? tst12([all,all],[a,b,c,x,y],(f1,f2)->imp(f1,f2),"x^8+y^8<1,a*x+b*y+c<0"); *** using Lazard's method (MPP17). [y,2] [x,4] [c,10] [b,12] [a,1] time = 14144 ms. 3 65(206,12) 963(196,62) 9219(384,432) 4385(8672,876) *** combined adjacent 437…

2021-04-07

本日のC.A.D.

? tst12([all,all,all],[a,b,c,d,x,y,z],(f1,f2)->imp(f1,f2),"x^2+y^2+z^2<1,a*x+b*y+c*z+d<0"); *** using Lazard's method (MPP17). [z,2] [y,3] [x,6] [d,11] [c,11] [b,8] [a,1] time = 284 ms. 3 33(10,8) 499(36,111) 12849(20,2411) 183385(6996,102…

2021-04-06

本日のC.A.D.

? tst12([],[a,b,c,x,y],f->f,"(a*x^2+b*x-c)*y^2+(b*x^2+c*x-a)*y+c*x^2+a*x-b==0"); *** using Lazard's method (MPP17). [y,1] [x,3] [c,11] [b,41] [a,1] time = 414 ms. 3 217(188,41) 5631(66,259) 64685(1784,2346) 89867(26164,0) *** combined adja…

2021-04-06

本日のC.A.D.

Mathematica による結果の検証． ? tst12([],[a,b,c,d,e,f,x],(f1,f2,f3,f4,f5,f6,f7)->f1*f2*f3*f4*f5*f6*f7,"a==0,b<0,c<0,d==0,e<0,a*x^2+b*x+c>0,d*x^2+e*x+f<0",11);Ans(1) *** roots will be displayed in [pol,[zero,root,multi,deg]] for mma. *** u…

2021-04-06

本日のC.A.D.

? tst12([],[a,b,c,x],f1->f1,"a*x^2+(a+b)*x+b*c<1",17); *** using Lazard's method (BM20). -5 [x,1] 0 [c,1] [b,1] [a,1] [[[a],[b],[],[]],[[a+4],[b],[],[]]] time = 264 ms. 5 15(0,0) [[a,b],[-4,0]]:-a^2+((4*c-2)*b-4)*a-b^2>>(4*c-2)*a-2*b 33(0,…

2021-04-01

本日のC.A.D.

? tst12([],[a,b,c,x,y],(f1,f2)->f1*f2,"y>=0,y+(a-b)*x^2+(2*a-3*b+c)*a*x+c-b<=0");pp *** using Lazard's method (MPP17). [y,2] [x,1] [c,2] [b,2] [a,4] time = 134 ms. 11 57(6,2) 315(36,26) 1219(148,0) 1592(0,946) *** combined adjacent 786 cel…

2021-03-30

本日のC.A.D.

? tst12([],[a,b,c,x,y],f->f,"(a*x^2+b*x-c)*y^2+(b*x^2+c*x-a)*y+c*x^2+a*x-b==0"); [y,1] [x,3] [c,11] [b,41] [a,1] time = 635 ms. 3 217(188,41) 5631(66,259) 64685(1784,2346) 89877(26166,0) *** combined adjacent 14994 cells. time = 36,295 ms.…

2021-02-04

SOS Projection

GP/PARI CALCULATOR Version 2.14.0 (development git-b0a4238356) amd64 running linux (x86-64/GMP-6.2.1 kernel) 64-bit version compiled: Feb 21 2021, gcc version 9.3.0 (Ubuntu 9.3.0-17ubuntu1~20.04) threading engine: single (readline v8.0 ena…

2019-11-23

京都大学理学部特色入試［３］（２）

もう一問，解いてみました．設問の各条件は $f$ を $-f$ に変えても等価なので，${\rm lc}(f)>0$ としてよく，${f}({x})\to+\infty\ ({x\to+\infty})$，$f$ は連続なので $\exists x\in\mathbb{R} \left({{f}({x})\in\mathbb{Z}}\right)$ であり，設問の仮…

2019-11-23

京都大学理学部特色入試［４］

ちょっとした経緯があり，解いてみました． $O$ を原点とする $xyz$ 空間内の任意の点 $X=(x,\ y,\ z)$ に対して，$X'=(0,\ y,\ z)$ とし，$X$ と $x$ 軸との距離を ${d}({X})$ で表すと，${d}({X})=\sqrt{y^2+z^2}=\left|\overrightarrow{OX'}\right|$ だか…

2019-10-19

√素数が有理数でないこと（その３）

同じ内容をどこかに書いた気もするのですが，等号の話が出た流れで．かなり以前の「√素数が有理数でないこと」http://ehito.hatenablog.com/entry/20130419/1366333894 の続編です．定数記号ｃ，２項関数記号ｆ，ｇをもつ言語に，前回のように等号の公理を導…

2019-10-19

数理論理４：等号

今回は・等号の公理と・理論と構造の濃度との関係について述べます．以下，２項述語記号＝を等号と呼び，これを元にもつ言語を固定，ｔ１，ｔ２がその項ならば＝（ｔ１，ｔ２）をｔ１＝ｔ２￢（＝（ｔ１，ｔ２））をｔ１≠ｔ２とそれぞれ略記します．…

2019-10-06

数理論理３：構文論

今回は・言語に対して，その言語の定理式の全体が定まることをＬＫと呼ばれる流儀で述べます．以下，言語，その言語の論理式の集合Σを任意に固定します．（定義３－１）論理式の任意の集合の対（Ψ，Ω）をシーケントと呼び，Σから導出可能なシーケントの全…

2019-09-07

数理論理２：意味論

今回は・言語，構造，割り当てに対して，その言語の項，論理式の値が定まることそして・言語に対して，その言語の valid な論理式の全体が定まることを述べます．以下，言語を固定します．（定義２－１）構造は空でない集合Ｄ（domainと呼びます）と次…

2019-09-07

nfsplitting(*,,2);

私が案出した Galois 群の計算方法を PARI の開発メンバーの方にお伝えしたところ，それに基づいた nfsplitting さらに galoisinit の改良版を作成してくださいました．試用方法は https://pari.math.u-bordeaux.fr/cgi-bin/gitweb.cgi?p=pari.git;a=tree;h…

2019-09-07

数理論理１：言語

ちょっとした経緯があり，数理論理（古典一階論理）の基本事項を少し書きます．今回は・言語に対して，その言語の項，論理式の全体が定まることを述べます．（定義１－１）言語は，次のような互いに区別できる記号の集合です．ｎ項関数記号（各ｎは非負…

2019-07-18

代数体上の線型方程式系の求解

今回の冪根拡大の構成では，中間体上の線型方程式系（連立一次方程式）を解くことが一つの柱となっています（ http://ehito.hatenablog.com/entry/2019/04/11/193241 ）．それは例えば，定義多項式が c5^4+c5^3+c5^2+c5+1, e1^2+10, e2^5+((-3750*c5^3)-3750…

2019-07-08

位数の取得

前回も触れたように，nfsplitting の処理時間は結果の多項式の次数を第二引数として与えることで一般に短縮されます．この性質を利用するため本プログラムでは，その次数，つまり，入力多項式の上の Galois 群の位数を，予め用意したある範囲内の全ての c…

2019-06-23

多項式の Galois 群計算

本プログラムの Galois 群計算の仕組みは http://ehito.hatenablog.com/entry/2019/02/24/200919 で述べましたが，今回は具体例を用いて解説します．この方法は，単に入力多項式の Galois 群を特定するのではなく，本プログラムの目標である入力多項式の根…

2019-05-22

円分体上の Galois 群

前回までの冪根拡大では，円分体を基礎体とする一方，中間体の生成は上の Galois 群の組成列に従っており，となるの発生原因となっていました．今回はこれを「まず円分体とその上の分解体の Galois 群を構成し，その組成列を用いて中間体を生成する手順」…

2019-05-15

GGRR on SageMath

今回の「可解な方程式の全ての根を Galois 理論に基づく方法により冪根で表すプログラム」を SageMath ( http://www.sagemath.org/ ) に移植しました．SageMath は https://cocalc.com/?utm_source=sagemath.org&utm_medium=icon から，Facebook，Github，Go…